BARISAN DAN DERET ARITMATIKA BESERTA CONTOH DAN RUMUSNYA

A.BARISAN ARITMETIKA Barisan Aritmetika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih dan dilambangkan dengan b, sedangkan suku yang pertama (U1) dilambangkan dengan a. Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Un = a + (n – 1)b, dengan b = Un – Un – 1 Contoh Soal : 1. Diketahui barisan aritmetika 3, 8, 13, … a. Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan tersebut! b. Suku keberapakah yang nilainya 198 ? Jawab : a. Dari barisan aritmetika 3, 8, 13, … diperoleh suku pertama a = 3 dan beda b = 8 – 3 = 5. Un = a + (n – 1)b U10 = 3 + (10 – 1)5 = 3 + 9 x 5 = 3 + 45 = 48 Un = a + (n – 1)b = 3 + (n – 1)5 = 3 + 5n – 5 = 5n – 2 b. Misalkan Un = 198, maka berlaku : Un = 198 5n – 2 = 198 5n = 200 n = 40 Jadi 198 adalah suku ke- 40 2. Diketahui U1 = a = 3 , U5 = 19 , Un = 31 a. Tentukan beda (b) b. Tentukan n c. Tentukan suku ke-20 d. Tentukan n jika Un = 51 Jawab : a. Cari U5 terlebih dahulu, setelah itu cari b dengan rumus U5 yang telah didapat : Un = a + (n - 1)b U5 = a + (5 - 1)b = a + 4b b = a + 4b = 19 3 + 4b = 19 4b = 19 - 3 b = 16/4 b = 4 b. Gunakan rumus Un = a + (n - 1)b = 31 (diketahui Un = 31) : Un = 31 a + (n - 1)b = 31 3 + (n - 1)4 = 31 3 + 4n - 4 = 31 4n - 1 = 31 4n = 31 + 1 n = 32/4 n = 8 c. suku ke-20 , dik: a = 3 , b = 4 : Un = a + (n - 1) b U20 = 3 + (20 - 1) 4 U20 = 3 + 80 - 4 U20 = 80 - 1 U20 = 79 d. Jika Un = 51 : Un = 51 a + (n - 1)b = 51 3 + (n - 1)4 = 51 3 + 4n - 4 = 51 4n - 1 = 51 4n = 51 + 1 n = 52/4 n = 13 . 3.Diketahui barisan aritmetika 3, 8, 13, … a. Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan tersebut! b. Suku keberapakah yang nilainya 198 ? Jawab : a. Dari barisan aritmetika 3, 8, 13, … diperoleh suku pertama a = 3 dan beda b = 8 – 3 = 5. Un = a + (n – 1)b U10 = 3 + (10 – 1)5 = 3 + 9 x 5 = 3 + 45 = 48 Un = a + (n – 1)b = 3 + (n – 1)5 = 3 + 5n – 5 = 5n – 2 b. Misalkan Un = 198, maka berlaku : Un = 198 5n – 2 = 198 5n = 200 n = 40 Jadi 198 adalah suku ke- 40 4. Diketahui U1 = a = 3 , U5 = 19 , Un = 31 a. Tentukan beda (b) b. Tentukan n c. Tentukan suku ke-20 d. Tentukan n jika Un = 51 Jawab : a. Cari U5 terlebih dahulu, setelah itu cari b dengan rumus U5 yang telah didapat : Un = a + (n - 1)b U5 = a + (5 - 1)b = a + 4b b = a + 4b = 19 3 + 4b = 19 4b = 19 - 3 b = 16/4 b = 4 b. Gunakan rumus Un = a + (n - 1)b = 31 (diketahui Un = 31) : Un = 31 a + (n - 1)b = 31 3 + (n - 1)4 = 31 3 + 4n - 4 = 31 4n - 1 = 31 4n = 31 + 1 n = 32/4 n = 8 c. suku ke-20 , dik: a = 3 , b = 4 : Un = a + (n - 1) b U20 = 3 + (20 - 1) 4 U20 = 3 + 80 - 4 U20 = 80 - 1 U20 = 79 d. Jika Un = 51 : Un = 51 a + (n - 1)b = 51 3 + (n - 1)4 = 51 3 + 4n - 4 = 51 4n - 1 = 51 4n = 51 + 1 n = 52/4 n = 13 5. Tentukan suku ke-25 dari barisan deret aritmatika : 1, 3, 5, 7, ... ? Jawab : Dik : deret : 1. 3, 5, 7, ... a = 1 b = 3-1 = 5-3 = 7-5 = 2 Un = a + (n-1) b = 1 + (25-1)2 = 1 + (24).2 = 1 + 48 = 49 Jadi nilai dari suku ke-25 (U25) adalah 49 6. Jika diketahui nilai dari suku ke-15 dari suatu deret arimatika adalah 32 dan beda deret adalah 2, maka cari nilai dari suku pertamanya ? Jawab : Dik : U15 = 32 b = 2 n = 15 Ditanya : a ? Penyelesaian : Un = a + (n-1) b U15 = a + (15-1) 2 32 = a + (14).2 32 = a + 28 a = 32 - 28 a = 4 Jadi nilai dari suku pertama (a) dari deret tersebut adalah 4. 7. Diketahui suatu barisan aritmatika dengan suku ke-7 adalah 33 dan suku ke-12 adalah 58. Tentukan : a). Suku pertama (a) dan beda (b) b). Besarnya suku ke-10 Jawab : Diketahui : U7 = 33 U12 = 58 Penyelesaian : a). U7 = a + (7-1)b 33 = a + 6b U12 = a + (12-1)b 58 = a + 11b Lakukan metode subtitusi pada kedua persamaan tersebut. 58 = a + 11b 33 = a + 6b (-) 25 = 5b b = 25/5 b = 5 33 = a + 6b 33 = a + 6.(5) 33 = a + 30 a = 33 - 30 a = 3 b). Un = a + (n-1) b U10 = 3 + (10-1). 5 = 3 + (9).5 = 3 + 45 = 48 DERET ARITMATIKA Yang dimaksud dengan deret aritmatika adalah penjumlahan dari semua anggota barisan aritmatika secara berurutan. Contoh dari deret aritmatika yaitu 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + … Misalnya kita ambil n suku pertama, jika kita ingin menentukan hasil dari deret aritmatika sebagai contoh untuk 5 suku pertama dari contoh deret diatas. Bagaimana caranya? 7 + 10 + 13 + 16 + 19 = 65 Nah untuk 5 suku pertama, masih mungkin kita menghitung manual seperti diatas. Seandainya kita akan menentukan jumlah dari 100 suku pertama, apakah masih mungkin kita menghitung manual seperti itu. Walaupun bisa tetapi pastinya akan memakan waktu yang cukup lama. Nah kali ini akan kita tunjukkan cara menentukannya, sebagai contohnya untuk mennetukan jumlah 5 suku pertama dari contoh diatas. Misalkan S5=7 + 10 + 13 + 16 + 19, sehingga Walaupun dengan cara yang berbeda tetapi menunjukkan hasil yang sama yaitu 65. Perhatikan bahwa S5 tersebut dapat dicari dengan mengalikan hasil penjumlahan suku pertama dan suku ke-5, dengan banyaknya suku pada barisan, kemudian dibagi dengan 2. Analogi dengan hasil ini, jumlah n suku pertama dari suatu barisan dapat dicari dengan rumus berikut: Sn = (a + Un) × n : 2 Dikarenakan Un = a + (n – 1)b, sehingga rumus di atas menjadi Sn = (2a + (n – 1)b) × n : 2 Berikut ini contoh sederhana soal deret aritmatika dan penyelesaiannya : 1. Tentukan suku ke-25 dari barisan deret aritmatika : 1, 3, 5, 7, ... ? Jawab : Dik : deret : 1. 3, 5, 7, ... a = 1 b = 3-1 = 5-3 = 7-5 = 2 Un = a + (n-1) b = 1 + (25-1)2 = 1 + (24).2 = 1 + 48 = 49 Jadi nilai dari suku ke-25 (U25) adalah 49 2. Diketahui suatu deret aritmatika : 3, 7, 11, 15, ...., hitung beda dan suku ke-7 dari contoh deret tersebut? Jawab: Dik : deret : 3,7 , 11, 15, ... Ditanya : b dan U7 ? Penyelesaian : b = 7-3 = 11-7 = 4 Un = a + (n-1) b = 3 + (7-1) 4 = 3 + (6).4 = 3 + 24 = 27 Jadi beda adalah 4 dan Suku ke-7 adalah 27. 3. Jika diketahui nilai dari suku ke-15 dari suatu deret arimatika adalah 32 dan beda deret adalah 2, maka cari nilai dari suku pertamanya ? Jawab : Dik : U15 = 32 b = 2 n = 15 Ditanya : a ? Penyelesaian : Un = a + (n-1) b U15 = a + (15-1) 2 32 = a + (14).2 32 = a + 28 a = 32 - 28 a = 4 Jadi nilai dari suku pertama (a) dari deret tersebut adalah 4. 4. Hitung jumlah dari suku ke-5 (S5) dari deret berikut : 3, 4, 5, 6, ....? Jawab : Dik : a = 3 b = 4-3 = 5-4 = 1 n = 5 Ditanya : Jumlah suku ke-5 (S5) ? Penyelesaian : Un = a + (n-1) b = 3 + (5-1)1 = 3 + 4 = 7 Sn = 1/2 n ( a + Un ) S5 = 1/2 .5 (3 +7) = 5/2 (10) = 25 Jadi jumlah suku ke-5 dari deret tersebut : 25 . 5. Diketahui suatu barisan aritmatika dengan suku ke-7 adalah 33 dan suku ke-12 adalah 58. Tentukan : a). Suku pertama (a) dan beda (b) b). Besarnya suku ke-10 Jawab : Diketahui : U7 = 33 U12 = 58 Penyelesaian : a). U7 = a + (7-1)b 33 = a + 6b U12 = a + (12-1)b 58 = a + 11b Lakukan metode subtitusi pada kedua persamaan tersebut. 58 = a + 11b 33 = a + 6b (-) 25 = 5b b = 25/5 b = 5 33 = a + 6b 33 = a + 6.(5) 33 = a + 30 a = 33 - 30 a = 3 b). Un = a + (n-1) b U10 = 3 + (10-1). 5 = 3 + (9).5 = 3 + 45 = 48 6.tunglah jumlah 20 suku pertama dari deret arimetika 3 + 5 + 7 + ….. Jawab : A = 3, b = 5 – 3 = 2, dan n = 20, maka : S20 = 10( 6 + 19.2) = 10 ( 6 + 38) = 10 ( 44 } = 440