Barisan Geometri dan Deret Geometri BESERTA CONTOH DAN RUMUSNYA MASING MASING

https://m.facebook.com/story.php?story_fbid=705747556285867&id=100005518870279

channel YT

https://youtu.be/EWAMqje1rmc

Barisan dan Deret Geometri – Ketika sobat belajar matematika SMA, ada dua macam barisan dan deret yaitu aritmatika dan geometri. Buat sobat yang ingin belajar lebih jauh tentang barisan dan deret aritmatika silahkan baca postingan barisan dan deret aritmatika. Kali ini rumushitung.com ingin mengajak sobat untuk belajar dan mengenal lebih jauh tentang barisan dan deret geometri.

A.BARISAN GEOMETRI

Barisan geometri atau sering diistilahkan “barisan ukur” adalah barisan yang memenuhi sifat hasil bagi sebuah suku dengan suku sebelumnya yang berurutan adalah bernilai konstan. Misal barisan geometri tersebut adalah a,b, dan c maka c/b = b/a = konstan. Hasil bagi suku yang berdekatan tersebut disebut dengan rasio barisan geometri (r).

Misalkan sobat punya sebuah deret geometri
U₁, U₂, U₃, …, U_n-1, U_n
Maka
U₂/U₁ = U₃/U₂=U₄/U₃ = … U_n/U_n-1 = r (konstan)
lalu bagaimana menetukan suku ke-n dari sebuah barisan geometri? coba ambil contoh
U₃/U₂ = r maka U₃ = U₂. r = a.r.r = ar²
U₄/U₃ = r maka U₄ = U₃. r = a.r².r = ar³ sejalan dengan
U_n/U_n-1 = r maka U_n = U_n-1. r = ar^n-2.r = ar^n-2+1= ar^n-1

jadi dari penjelasan di atas sobat bisa menyimpulkan

Rumus Suku ke-n dari barisan geometri dirumuskan
Un = ar^n-1
dengan a = suku awal dan r = rasio barisan geomteri

contoh soal:

1.Tentukan suku ke 10 dari barisan 1/8, 1/4, 1/2, ….

jawab :

kalau ditanya suku ke lima atau suku yang masih ke-sekian yang masih kecil mungkin sobat bisa meneruskan barisan geometri tersebut tapi kalau ditanyakan suku ke-10, ke-50, atau ke-100 akan sangat merepotkan dan mau tidak mau harus pakai rumus di atas.

r = 1/4 : 1/8 = 1/4 x 8 = 2 –> rasio
a = 1/8
Un = ar^n-1 = 1/8 2^(10-1) = 1/8 . 2⁹ = 2^-3.2⁹ = 2⁶ = 64

2. Sebuah amoeba dapat membelah diri menjadi 2 setiap 6 menit. Pertanyaannya, berapakah jumlah amoeba setelah satu jam jika pada awalnya terdapat 2 amoeba?
a = 2
r = 2
n = 1 jam/ 6 menit = 10
U_n = ar^n-1
U₁₀ = 2.2^10-1 = 2¹⁰ = 1024 buah amoeba.

3. Tentukan tiga suku pertama pada barisan-barisan berikut ini, jika suku umum ke-n di rumuskan sebagai berikut:

a. U_n = 4n+1

b. U_n = 2n² – 1

c. Un = 1 – 2n

Penyelesaian

Karena Un merupakan fungsi dari n maka suku pertama U₁ suku kedua U₂ dan suku ketiga U₃dapat ditentukan dengan cara menghitung nilai fungsi Un untuk nilai-nilai n=1, n=2, n=3, sebagaimana ditunjukkan dalam perhitungan-perhitungan berikut ini.

a. Suku umum ke-n, Un = 4n+1

Untuk n = 1 à U₁ = 4 (1) + 1 = 5

Untuk n = 2 à U₂ = 4 (2) + 1 = 9

Untuk n = 3 à U₃ = 4 (3) + 1 = 13

b. Suku umum ke - n, Un = 2n² – 1

Untuk n = 1 à U₁ = 2 (1)² - 1 = 1

Untuk n = 2 à U₂ = 2 (2)² - 1 = 7

Untuk n = 3 à U₃ = 2 (3)² - 1 = 17

c. Suku umum ke - n, Un = 1 – 2n

Untuk n = 1 à U₁ = 1- 2 (1)² = - 1

Untuk n = 2 à U₂ = 1- 2 (2)² = - 7

Untuk n = 3 à U₃ = 1- 2 (3)² = - 17

Jadi, 3 suku pertama barisan itu adalah U₁= -1, U₂= - 3, U₃ = - 5

4. Cara menentukan rumus umum suku ke – n dari suatu barisan

Untuk menentukan rumus suku ke – n dari suku barisan, yaitu dengan cara mengamati pola aturan tertentu yang terdapat pada 3 suku atau 4 suku dari barisan tersebut.

Contoh:

Tentukan rumus umum ke – n dari barisan-barisan berikut ini:

a. 2, 4, 8, 16, 32, …

b. 4, 6, 8, 10, …

Penyelesaian

a. 2, 4, 8, 16, 32, … dapat ditulis dengan (2)¹, (2)², (2)³, (2)⁴, (2)⁵, … barisan dengan suku-sukunya sama, yaitu 2 dipangkatkan dengan bilangan asli, jadi Un = 2ⁿ

b. 4, 6, 8, 10, … barisan dengan suku pertama U₁ = 4 dan selisih dua suku yang berurutan bernilai konstan yaitu 2. Jadi Un = 2n+2

5.Diketahui barisan geometri, U2=14 dan U4=56, tentukan a dan rasionya?
Jawab:
U2=a.r => 14 = ar
U4=ar^3 => 56 = ar^3 = ar.r^2

56 = 14 r^2 => 4=r^2 => r=2
14=ar =>14=a.2 => a=7
Jadi suku pertama 7 dan rasio=2

LIHAT DISINI :

6.Diketahui suatu barisan geometri dengan suku keempat 10/9 dan suku keenam 10/81 . Tentukan suku pertama dan rasio pada barisan geometri tersebut, dan suku kesepuluh barisan geometri tersebut.

Penyelesaian:

U₄ = 10/9 dan U₆ = 10/81, maka:

U₄ =ar^{4 – 1}

10/9 =ar³

U₆ =ar^{6 – 1}

10/81 = ar⁵

10/81 = (ar³)r²

10/81 = (10/9)r²

r² = (10/81)/(10/9)

r² = 9/81

r² = 1/9

r = 1/3

10/9 =a(1/3)³

10/9 =a (1/27)

a = (10/9)/(1/27)

a = 30

U_n = ar^{n – 1}

U₁₀ = 30.(( 1/3)^{10 – 1})

U₁₀ = 30.( 1/3)⁹

U₁₀ = 30/9⁹

U₁₀ = 30/19683

U₁₀ = 10/6561

B. DERET GEOMETRI

. Pengertian Deret Geometri

· Definisi deret geometri

Ketika suatu deret memiliki rasio yang konstan antara suku-suku yang berurutan, deret itu disebut sebagai deret geometri. Konstanta tersebut disebut rasio,r.

· Contoh deret geometri :

1. 1+2+4+8+ …. (rasionya selalu tetap yaitu 2)

2. 3+9+27+81+…. (rasionya selalu tetap yaitu 3)

3. 4+16+64+256+… (rasionya selalu tetap yaitu 4)

· Contoh yang bukan deret geometri :

1. 1, 2, 4, 8, . . . .

2. 3, 9, 27, 81, . . .

3. 4, 16, 64, 256, . . .

Rumus Umum Jumlah n Suku Pertama dari Sutu Deret Giometri, dengan suku pertama a dan rasio r, maka jumlah n suku pertama dari deret tersebut adalh:

a. Pembuktian rumus jumlah n suku pertama dari suatu deret giometri

Bentuk umum deret geometri adalah :

Jika Sn merupakan hasil penjumlahan deret geometri maka:

Persamaan (1) dikalikan dengan r maka

Jika pertama

b. Sifat-sifat pada deret geometri dan contoh soal.

Dengan menggunakan rumus suku ke-n dan jumlah n suku pertama pada deret giometri kita akan memenuhi sifat-sifat lain

Bentuk umum deret giometri adalah :

Misalkan untuk sebuah deret geometri 2+6+18+54+. . .

Jika,

Dari uraian diatas, maka :

Adapun sifat-sifat deret giometri lain adalah :

Misalkan pada suatu dret , suku tengahnya adalah

Dari uraian di atas, maka

Untuk Un = maka hubungan antara Sn dan Un adalah :

CONTOH SOAL;

1 .Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut.
3 + 6 + 12 + ....
Tentukan suku ke-5 dari deret tersebut!

Pembahasan
Rumus suku ke-n deret geometri
U_n = ar^{n −1}

dimana
a = suku pertama
r = rasio

Dari soal
a = 3
r =⁶/₃ = 2

sehingga
U_n = arⁿ⁻¹
U₅ = 3 (2)^{5 −1} = 3 (2)⁴= 3(16) = 48

2.Diketahui suku pertama suatu deret geometri adalah 4 dengan suku ke-5 adalah 324. Tentukan rasio dari deret tersebut!

Pembahasan
Data dari soal di atas
U₅ = 324
a = 4
Dari U_n = ar^{n −1}

Dengan demikian rasionya adalah 3 atau − 3

3.Deret geometri 12 + 6 + 3 + ....
Tentukan U₃ + U₅

Pembahasan
U₃ = 3
a = 12
r = ⁶/₁₂ = ¹/₂

Un = ar^{n −1}
U₅ = 12(1/2)^{5 −1} = 12(1/2)⁴ = 12(1/16) = 12/16 = 3/4

Sehingga
U₃ + U₅ = 3 + ³/₄ = 3 ³/₄

4.Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut.
3 + 6 + 12 + ....
Tentukan jumlah 7 suku pertama dari deret tersebut!

Pembahasan
Data:
a = 3
r = ⁶/₃ = 2
S₇ =....

Rumus mencari jumlah n suku pertama deret geometri untuk rasio lebih besar dari satu r > 1

Sehingga:

5.Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut.
24 + 12 + 6 +...
Tentukan jumlah 7 suku pertama dari deret tersebut!

Pembahasan
Data:
a = 24
r = ¹²/₂₄ = ¹/₂
S₇ =....

Rumus mencari jumlah n suku pertama deret geometri untuk rasio lebih kecil dari satu r < 1

Sehingga:

6. Pada sebuah deret geometri, rumus jumlah suku ke-n nya adalah Sn = 2n² + 4n. Tentukan nilai suku ke-9 dari deret tersebut?
Penyelesaian:
Untuk mencari suku ke-n, jika diketahui jumlah nilai suku-sukunya, maka rumus yang berlaku adalah:

Un = Sn – S(n – 1)

Jumlah nilai 9 suku pertama
Sn = 2n² + 4n
S9 = 2(9)² + 4(9)
S9 = 2.81 + 36
S9 = 198.
Jumlah nilai 8 suku pertama
Sn = 2n² + 4n
S8 = 2(8)² + 4(8)
S8 = 2.64 + 32
S8 = 160.
Maka nilai dari suku ke-9 adalah
Un = Sn – S(n – 1)
U9 = S9 – S8
U9 = 198 – 160 = 38.

Terima Kasih Atas Kunjungannya